已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=x2-2x+2,
题型:惠州模拟难度:来源:
已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R). (Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率; (Ⅱ)求f(x)的单调区间; (Ⅲ)设g(x)=x2-2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围. |
答案
(Ⅰ)由已知f′(x)=2+ (x>0),则f"(1)=2+1=3. 故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3; (Ⅱ)f′(x)=a+=(x>0). ①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f"(x)>0 所以,f(x)的单调递增区间为(0,+∞). ②当a<0时,由f"(x)=0,得x=-. 在区间(0,-)上,f"(x)>0,在区间(-,+∞)上f"(x)<0, 所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,-),单调递减区间为(-,+∞); (Ⅲ)由已知,转化为f(x)max<g(x)max, 因为g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[0,1], 所以g(x)max=2…(9分) 由(Ⅱ)知,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故不符合题意. 当a<0时,f(x)在(0,-)上单调递增,在(-,+∞)上单调递减, 故f(x)的极大值即为最大值,f(-)=-1+ln(-)=-1-ln(-a), 所以2>-1-ln(-a),解得a<-. |
举一反三
已知函数f(x)=ax3+(2a-1)x2+1,当x=-1时,函数f(x)有极值. (I)求实数a的值; (II)求函数f(x)在在[-1,1]的最大值和最小值. |
已知函数f(x)=2ax3+bx2-6x在x=±1处取得极值 (1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值; (2)试求函数f(x)在x=-2处的切线方程; (3)试求函数f(x)在区间[-3,2]上的最值. |
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)的图象与x轴交于A,B,C三点.若点B的坐标为(2,0),且函数f(x)在区间[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在区间[0,2]和[4,5]上有相反的单调性. (1)求c的值; (2)求的取值范围; (3)求|AC|的最大值和最小值. |
设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x). (Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间; (Ⅱ)当x∈[-1,e-1]时,求f(x)的最大值. |
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