若函数f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.

若函数f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.

题型:黑龙江难度:来源:
若函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.
答案
函数f(x)的导数f′(x)=x2-ax+a-1.
令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.
当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,
在(1,a-1)内为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.
依题意应有
当x∈(1,4)时,f′(x)<0,
当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0.
所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7.
所以a的取值范围是[5,7].
举一反三
已知函数f(x)=lnx-
x-1


x

(1)判定函数f(x)的单调性;
(2)设a>1,证明:
lna
a-1
1


a
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=ax3+bx+cx+d的图象与y轴的交点为点P,且曲线在点P处的切线方程为12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试求函数的单调区间.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+
1
x
+2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+
a
x
,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x-alnx+
b
x
在x=1处取得极值.
(I)求a与b满足的关系式;
(II)若a∈R,求函数f(x)的单调区间.
题型:不详难度:| 查看答案
设x=-
1
3
是函数f(x)=x3+mx2+mx-2的一个极值点.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若方程
f(-a)+f(a)
2
f(x)=在区间[-a,a](a>0)上恰有两个不同的实根,求a的取值范围.
题型:温州二模难度:| 查看答案
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