已知函数f(x)=x4-3x2+6.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程.
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x4-3x2+6. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程. |
答案
(Ⅰ)f′(x)=4x3-6x=4x(x+)(x-) 令f′(x)>0得-<x<0或x>; 令f′(x)<0得x<-或0<x< 因此,f(x)在区间(-,0)和(,+∞)为增函数; 在区间(-∞,-)和(0,)为减函数. (Ⅱ)设点P(x0,f(x0)), 由l过原点知,l的方程为y=f′(x0)x, 因此f(x0)=f′(x0)x0,即x04-3x02+6-x0(4x03-6x0)=0, 整理得(x02+1)(x02-2)=0,解得x0=-或x0=. 所以的方程为y=2x或y=-2x |
举一反三
对于函数f(x)=|x|3-x2+(3-a)|x|+b. (1)若f(2)=7,则f(-2)=______. (2)若f(x)有六个不同的单调区间,则a的取值范围是______. |
已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点,若点B的坐标为(2,0),且f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性. (1)求实数C的值; (2)在函数f(x)的图象上是否存在点M(x0,y0),使f(x)在点M处的切线斜率为3b?若存在,求出点M的坐标;不存在说明理由. |
设f(x)=kx--2lnx. (1)若f"(2)=0,求过点(2,f(2))的切线方程; (2)若f(x)在其定义域内为单调增函数,求k的取值范围. |
已知函数f(x)=x++b(x≠0).,其中a,b∈R (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)若对于任意的a∈[,2],不等式f(x)≤10在[,1]上恒成立,求b的取值范围. |
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx(a≠0) (I)若a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围; (Ⅱ)在(I)的结论下,设φ(x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函数φ(x)的最小值; (Ⅲ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由. |
最新试题
热门考点