(I)依题意:h(x)=lnx+x2-bx. ∵h(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴h′(x)=+2x-b≥0对x∈(0,+∞)恒成立, ∴b≤+2x,∵x>0,则+2x≥2. ∴b的取值范围是(-∞,2]. (II)设t=ex,则函数化为y=t2+bt,t∈[1,2]. ∵y=(t+)2-. ∴当-≤1,即-2≤b≤2时,函数y在[1,2]上为增函数, 当t=1时,ymin=b+1;当1<-<2,即-4<b<-2时,当t=-时,ymin=-; 当-≥2,即b≤-4时,函数y在[1,2]上是减函数, 当t=2时,ymin=4+2b. 综上所述:φ(x)= | b+1 | -2≤b≤2 | - | -4<b<-2 | 4+2b | b≤-4 |
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(III)设点P、Q的坐标是(x1,y1),(x2,y2),且0<x1<x2. 则点M、N的横坐标为x=. C1在点M处的切线斜率为k1=|x==. C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b|x==+b. 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2. 即=+b.则=+b(x2-x1)=(+bx2)-(+bx1) =y2-y1=lnx2-lnx1=ln, ∴ln==设u=>1,则lnu=,u>1,(1) 令r(u)=lnu-,u>1,则r′(u)=-=, ∵u>1,∴r′(u)>0, 所以r(u)在[1,+∞)上单调递增, 故r(u)>r(1)=0,则lnu>,与(1)矛盾! |