已知函数f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数.(1)求实数a的取值范围A;(2)当a为A中最小值时,定义数列{an}满足:a1=b∈(0,1),且2an
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已知函数f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数. (1)求实数a的取值范围A; (2)当a为A中最小值时,定义数列{an}满足:a1=b∈(0,1),且2an+1=f(an),试比较an与an+1的大小. |
答案
(1)∵f(x)=-x3+ax, ∴f′(x)=-3x2+a, ∵f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数, ∴f′(1)=-3+a≥0, ∴a≥3,即A=[3,+∞). (2)当a=3时,由题意:an+1=f(an)=-an3+an,且a1=b∈(0,1), 以下用数学归纳法证明:an∈(0,1),对n∈N*恒成立. ①当n=1时,a1=b∈(0,1)成立; ②假设n=k时,ak∈(0,1)成立,那么当n=k+1时, ak+1=-ak3+ak,由①知g(x)=(-x3+3x)在(0,1)上单调递增, ∴g(0)<g(ak)<g(1) 即0<ak+1<1, 由①②知对一切n∈N*都有an∈(0,1) 而an+1-an=-an3+an-an=an(1-an2)>0 ∴an+1>an. |
举一反三
已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32. (1)求实数a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. |
已知函数f(x)=xlnx. (I)若函数g(x)=f(x)+ax在区间[e2,+∞]上为增函数,求a的取值范围; (II)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥恒成立,求实数m的最大值. |
函数f(x)=sin2x在(0,π)上的递减区间是 ______. |
设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1. (1)求函数f(x)的单调区间、极值; (2)若x∈[0,3a],试求函数f(x)的最值. |
设x1、x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点. (1)若x1=-1,x2=2,求函数f(x)的解析式; (2)若|x1|+|x2|=2,求实数b的最大值; (3)函数g(x)=f"(x)-a(x-x1)若x1<x<x2,且x2=a,求函数g(x)在(x1,x2)内的最小值.(用a表示) |
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