已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值32．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间．
题型：不详难度：来源：
已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值32．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间． |
答案
（1）∵f（x）=ax（x-2）2=ax3-4ax2+4ax，
∴f′（x）=3ax2-8ax+4a．
由f′（x）=0，得3ax2-8ax+4a=0．
∵a≠0，∴3x2-8x+4=0．
解得x=2或x=．
∵a＞0，∴x＜或x＞2时，f′（x）＞0；＜x＜2时，f′（x）＜0．
∴当x=时，f（x）有极大值32，即a-a+a=32，∴a=27．
（2）∵x＜或x＞2时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增
当＜x＜2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）单调递减
f（x）在（-∞，）和（2，+∞）上是增函数，在（，2）上是减函数． |
举一反三
已知函数f（x）=xlnx．
（I）若函数g（x）=f（x）+ax在区间[e2，+∞]上为增函数，求a的取值范围；
（II）若对任意x∈(0，+∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值． |
| 函数f（x）=sin2x在（0，π）上的递减区间是 ______． |
设函数f（x）=-x3+2ax2-3a2x+b，0＜a＜1．
（1）求函数f（x）的单调区间、极值；
（2）若x∈[0，3a]，试求函数f（x）的最值． |
设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2，求实数b的最大值；
（3）函数g（x）=f"（x）-a（x-x1）若x1＜x＜x2，且x2=a，求函数g（x）在（x1，x2）内的最小值．（用a表示） |
| 已知函数f(x)=在[1，+∞）上为减函数，则a的取值范围为______． |
最新试题
热门考点