已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.(1)求实数a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.

已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.(1)求实数a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.

题型:不详难度:来源:
已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
答案
(1)∵f(x)=ax(x-2)2=ax3-4ax2+4ax,
∴f′(x)=3ax2-8ax+4a.
由f′(x)=0,得3ax2-8ax+4a=0.
∵a≠0,∴3x2-8x+4=0.
解得x=2或x=
2
3

∵a>0,∴x<
2
3
或x>2时,f′(x)>0;
2
3
<x<2时,f′(x)<0.
∴当x=
2
3
时,f(x)有极大值32,即
8
27
a-
16
9
a+a=32,∴a=27.
(2)∵x<
2
3
或x>2时,f′(x)>0,∴函数f(x)单调递增
2
3
<x<2时,f′(x)<0,∴函数f(x)单调递减
f(x)在(-∞,
2
3
)和(2,+∞)上是增函数,在(
2
3
,2)上是减函数.
举一反三
已知函数f(x)=xlnx.
(I)若函数g(x)=f(x)+ax在区间[e2,+∞]上为增函数,求a的取值范围;
(II)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥
-x2+mx-3
2
恒成立,求实数m的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=sin2x在(0,π)上的递减区间是 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=-
1
3
x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.
(1)求函数f(x)的单调区间、极值;
(2)若x∈[0,3a],试求函数f(x)的最值.
题型:不详难度:| 查看答案
设x1、x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点.
(1)若x1=-1,x2=2,求函数f(x)的解析式;
(2)若|x1|+|x2|=2


2
,求实数b的最大值;
(3)函数g(x)=f"(x)-a(x-x1)若x1<x<x2,且x2=a,求函数g(x)在(x1,x2)内的最小值.(用a表示)
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
lna+lnx
x
在[1,+∞)上为减函数,则a的取值范围为______.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.