设函数f(x)=-13x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值;(2)若x∈[0,3a],试求函数f(x)的最值.
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设函数f(x)=-13x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值;(2)若x∈[0,3a],试求函数f(x)的最值.
题型:不详
难度:
来源:
设函数f(x)=-
1
3
x
3
+2ax
2
-3a
2
x+b,0<a<1.
(1)求函数f(x)的单调区间、极值;
(2)若x∈[0,3a],试求函数f(x)的最值.
答案
(1)f′(x)=-x
2
+4ax-3a
2
.令f′(x)=0,解得x=a或x=3a,列表:
x
(-∞,a)
a
(a,3a)
3a
(3a,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
递减
-
4
3
a
3
+b
递增
b
递减
解析
x
0
(0,a)
a
(a,3a)
3a
f′(x)
-
0
+
0
f(x)
b
递减
-
4
3
a
3
+b
递增
b
举一反三
设x
1
、x
2
(x
1
≠x
2
)是函数f(x)=ax
3
+bx
2
-a
2
x(a>0)的两个极值点.
(1)若x
1
=-1,x
2
=2,求函数f(x)的解析式;
(2)若
|
x
1
|+|
x
2
|=2
2
,求实数b的最大值;
(3)函数g(x)=f"(x)-a(x-x
1
)若x
1
<x<x
2
,且x
2
=a,求函数g(x)在(x
1
,x
2
)内的最小值.(用a表示)
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
lna+lnx
x
在[1,+∞)上为减函数,则a的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=ax
2
+2x+blnx在x=1和x=2时取得极值.(ln2≈0.7)
(1)求a、b的值;
(2)求函数f(x)在
[
1
2
,2]
上的最大值和最小值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设f(x)=x
3
-kx(k>0).
(1)若f′(2)=0,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若函数f(x)=x
3
-kx(k>0)在[1,+∞)上是单调函数,
(Ⅰ)求证:0<k≤3;(Ⅱ)设x
0
≥1,f(x
0
)≥1,且满足f(f(x
0
))=x
0
,求证:f(x
0
)=x
0
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数f(x)=
1
2
x
2
+(
3
4
a
2
+
1
2
a)lnx-2ax
,a∈R.
(Ⅰ)当a=
-
1
2
时,求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若函数f(x)在导函数f′(x)的单调区间上也是单调的,求a的取值范围;
(Ⅲ) 当0<a<
1
8
时,设g(x)=f(x)-(
3
4
a
2
+
1
2
a+1
)lnx-(a+
1
2
)x
2
+(2a+1)x,且x
1
,x
2
是函数g(x)的极值点,证明:g(x
1
)+g(x
2
)>3-2ln2.
题型:铁岭模拟
难度:
|
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