已知函数f(x)=x3-ax2+3x.(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值.(Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函
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已知函数f(x)=x3-ax2+3x. (Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值. (Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围. |
答案
(Ⅰ) 由题意知f"(x)=3x2-2ax+3=0的一个根为x=3,可得a=5,…(3分) 所以f"(x)=3x2-10x+3=0的根为x=3或 x=(舍去), 当1<x<3时,f"(x)<0,当3<x<5时,f"(x)>0, f(x)在x∈[1,3]上单调递减,在x∈[3,5]上单调递增 又f(1)=-1,f(3)=-9,f(5)=15, ∴f(x)在x∈[1,5]上的最小值是f(3)=-9,最大值是f(5)=15.…(7分) (Ⅱ)f"(x)=3x2-2ax+3,要f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,则有3x2-2ax+3≥0在x∈[1,+∞)内恒成立, 即a≤+在x∈[1,+∞)内恒成立 又+≥3(当且仅当x=1时取等号),所以a≤3…(13分) |
举一反三
已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0). (Ⅰ)若函数满足f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围; (Ⅱ)当<x<y<1时,试比较与的大小; (Ⅲ)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=x3-3ax, (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a=1时,求证:直线4x+y+m=0不可能是函数f(x)图象的切线. |
(文)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数). (1)求实数b的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)当a=1时,求函数y=f(x)(x∈[,e])的值域. |
已知函数f(x)=-x3+bx2-3a2x(a≠0)在x=a处取得极值. (Ⅰ)求; (Ⅱ)设函数g(x)=2x3-3af′(x)-6a3,如果g(x)在开区间(0,1)上存在极小值,求实数a的取值范围. |
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