已知函数f（x）=x+x3，x∈R．（1）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若a，b∈R，且a+b＞0，试比较f（a）+f（b）与0的大小．
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=x+x3，x∈R．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若a，b∈R，且a+b＞0，试比较f（a）+f（b）与0的大小． |
答案
（1）函数f（x）=x+x3，x∈R是增函数，证明如下：
因为f′（x）=1+3x2＞0恒成立，
所以函数f（x）=x+x3，x∈R是增函数．
（2）由a+b＞0，得a＞-b，由（1）知f（a）＞f（-b），
因为f（x）的定义域为R，定义域关于坐标原点对称，
又f（-x）=（-x）+（-x）3=-x-x3=-（x+x3）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
于是有f（-b）=-f（b），
所以f（a）＞-f（b），从而f（a）+f（b）＞0． |
举一反三
已知函数，f（x）=，g(x)=clnx+b，且x=是函数y=f（x）的极值点．
（1）若方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若直线L是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线，且直线L与函数Y=G（X）的图象相切于点P（x0，y0），x0∈[e-1，e]，求实数b的取值范围． |
设函数y=f（x）（x∈R）是可导的函数，若满足（x-2）f′（x）≥0，则必有（ ）| A．f（1）+f（3）≥2f（2） | B．f（1）+f（3）≤2f（2） | C．f（1）+f（3）＜2f（2） | D．f（1）+f（3）＞2f（2） |
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设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（ ）| A．f（x）g（b）＞f（b）g（x） | B．f（x）g（a）＞f（a）g（x） | C．f（x）g（x）＞f（b）g（b） | D．f（x）g（x）＞f（b）g（a） |
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函数y=3x-x3的单调递增区间是（ ）| A．（-1，1） | B．（-∞，-1） | C．（0，+∞） | D．（1，+∞） |
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