f′(x)=x2+2ax+2a-1 (1)∵f"(-3)=0,∴9-6a+2a-1=0, 解得:a=2; (2)f"(x)=(x+1)(x+2a-1), ∵a>1,由f"(x)=(x+1)(x+2a-1)>0 得x<1-2a或x>-1,所以f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1,+∞); 由f"(x)=(x+1)(x+2a-1)<0得1-2a<x<-1, 所以f(x)的单调减区间为(1-2a,-1); 且x=1-2a是极大值点,x=-1是极小值点; (3)∵g(x)=f"(x)是偶函数, ∴a=0 ∴f(x)=x3 -x,设曲线线 过点A(1,m)(m≠-)的切线相切于点P(x0,x03-x0 ), 则切线的斜率 k=x02-1, ∴切线方程为y-(x03-x0)═(x02-1)(x-x0), ∵点A(1,m)在切线上, ∴m-(x03-x0)=(x02-1)(1-x0), 解得m=-x03+x02-1 令h(x)=-x 3+x 2-1, 则h′(x)=-2x2+2x=2x(1-x)=0,解得x=0,x=1当x=0时,
h(x)去极小值-1,当x=1时,h(x)去极大值-, ∴实数m的取值范围是-1<m<-. |