已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),若a∈R,求函数f(x)的单调区间与极值.
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),若a∈R,求函数f(x)的单调区间与极值. |
答案
f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex 令f′(x)=0 解得x=-2a 或x=a-2以下分三种情况讨论. (1)若a>,则-2a<a-2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表: -
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数在(-a,a-2)内是减函数 函数f(x)在x=2处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a 函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2 (2)若a<则-2a>a-2 当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表:
函数f(x)在x=2处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a 函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2 (3)若a=则-2a=a-2函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,此时函数无极值 |
举一反三
设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1)) 处的切线垂直于y轴. (Ⅰ)用a分别表示b和c; (Ⅱ)当bc取得最小值时,求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间. |
已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的图象最有可能的是( ) |
已知函数f(x)的导函数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是( )A.(-1,0) | B.(2,+∞) | C.(0,1) | D.(-∞,-3) |
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已知函数 f(x)=alnx-(a+1)x+x2(a≥0). (Ⅰ)若直线l与曲线y=f(x)相切,切点是P(2,0),求直线l的方程; (Ⅱ)讨论f(x)的单调性. |
已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则c的值为( ) |
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