设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴.(Ⅰ)用a分别表示b和c;(Ⅱ
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设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1)) 处的切线垂直于y轴. (Ⅰ)用a分别表示b和c; (Ⅱ)当bc取得最小值时,求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间. |
答案
(Ⅰ)由f(x)=ax2+bx+c得到f"(x)=2ax+b. 因为曲线y=f(x)通过点(0,2a+3),故f(0)=c=2a+3, 又曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,故f"(-1)=0, 即-2a+b=0,因此b=2a. (Ⅱ)由(Ⅰ)得bc=2a(2a+3)=4(a+)2-, 故当a=-时,bc取得最小值-. 此时有b=-,c=. 从而f(x)=-x2-x+,f′(x)=-x-,g(x)=-f(x)e-x=(x2+x-)e-x, 所以g′(x)=[f(x)-f′(x)e-x]=-(x2-4)e-x 令g"(x)=0,解得x1=-2,x2=2. 当x∈(-∞,-2)时,g"(x)<0,故g(x)在x∈(-∞,-2)上为减函数; 当x∈(-2,2)时,g"(x)>0,故g(x)在x∈(2,+∞)上为减函数. 当x∈(2,+∞)时,g"(x)<0,故g(x)在x∈(2,+∞)上为减函数. 由此可见,函数g(x)的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞);单调递增区间为(-2,2). |
举一反三
已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的图象最有可能的是( ) |
已知函数f(x)的导函数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是( )A.(-1,0) | B.(2,+∞) | C.(0,1) | D.(-∞,-3) |
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已知函数 f(x)=alnx-(a+1)x+x2(a≥0). (Ⅰ)若直线l与曲线y=f(x)相切,切点是P(2,0),求直线l的方程; (Ⅱ)讨论f(x)的单调性. |
已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则c的值为( ) |
已知函数f(x)=3x3-ax2+x-5在区间[1,2]上单调递增,则a的取值范围是( )A.(-∞,5] | B.(-∞,5) | C.(-∞,] | D.(-∞,3] |
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