设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.
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设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性. |
答案
定义域{x|x>0} f′(x)=+2a(1-a)x-2(1-a)= 设g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1,x∈(0,+∞) ①若a=1,则g(x)=1>0 ∴在(0,+∞)上有f"(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数. ②若a>1则2a(1-a)<0,g(x)的图象开口向下, 此时△=[-2(1-a)]2-4×2a(1-a)×1=4(1-a)(1-3a)>0 方程2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0有两个不等的实根 不等的实根为x1=,x2= 且x1<0<x2 ∴在(0,)上g(x)>0, 即f"(x)>0,f(x)是增函数; 在(,+∞)上g(x)<0, 即f"(x)<0,f(x)是减函数; ③若0<a<1则2a(1-a)>0,g(x)的图象开口向上, 此时△=[-2(1-a)]2-4×2a(1-a)×1=4(1-a)(1-3a) 可知当≤a<1时,△≤0,故在(0,+∞)上,g(x)≥0, 即f"(x)≥0,f(x)是增函数; 当0<a<时,△>0,方程2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0有两个不等的实根 不等的实根满足>>0 故在(0,)和(,+∞)上g(x)>0, 即f"(x)>0,f(x)是增函数; 在(,)上g(x)<0, 即f"(x)<0,f(x)是减函数. |
举一反三
函数y=8x2-lnx的单调减区间是______,极小值是______. |
已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围. |
函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于 ______. |
已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (Ⅰ)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围. (Ⅱ)令g(x)=x-,是否存在实数a,对任意x1∈[-1,1],存在x2∈[0,2],使得f′(x1)+2ax1=g(x2)成立?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由. |
已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),若a∈R,求函数f(x)的单调区间与极值. |
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