(1)由题意f′(x)=x2-(k+1)x, 因为f(x)在区间(2,+∞)上为增函数, 所以f′(x)=x2-(k+1)x≥0在(2,+∞)上恒成立,即k+1≤x恒成立, 又x>2,所以k+1≤2,故k≤1, 当k=1时,f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1在x∈(2,+∞)恒大于0,故f(x)在(2,+∞)上单增,符合题意. 所以k的取值范围为k≤1. (2)设h(x)=f(x)-g(x)=-x2+kx-, h′(x)=x2-(k+1)x+k=(x-k)(x-1), 令h′(x)=0得x=k或x=1,由(1)知k≤1, ①当k=1时,h′(x)=(x-1)2≥0,h(x)在R上递增,显然不合题意; ②当k<1时,h(x),h′(x)随x的变化情况如下表:
由于>0,欲使f(x)与g(x)图象有三个不同的交点, 即方程f(x)=g(x),也即h(x)=0有三个不同的实根. 故需-+->0即(k-1)(k2-2k-2)<0, 所以,解得k<1-. 综上,所求k的范围为k<1-. |