设函数f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4,x∈R,其中|t|≤1,将f(x)的最小值记为g(t).(1)求g(t)的表达式
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设函数f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4,x∈R,其中|t|≤1,将f(x)的最小值记为g(t).(1)求g(t)的表达式
题型:安徽
难度:
来源:
设函数
f(x)=-co
s
2
x-4tsin
x
2
cos
x
2
+4
t
3
+
t
2
-3t+4,x∈R
,其中|t|≤1,将f(x)的最小值记为g(t).
(1)求g(t)的表达式;
(2)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.
答案
(1)由题意得数
f(x)=-co
s
2
x-4tsin
x
2
cos
x
2
+4
t
3
+
t
2
-3t+4
=sin
2
x-1-2tsinx+4t
3
+t
2
-3t+4=(sinx-t)
2
+4t
3
-3t+4,
又由|t|≤1,可得,当sinx=t时,(sinx-t)
2
取得最小值,
此时函数f(x)取得最小值,即g(x)=4t
3
-3t+4,
(2)g(x)=4t
3
-3t+4,则g′(x)=12t
2
-3t,t∈(-1,1),
令g′(x)=0可得t=±
1
2
,
列表如下:
t
(-1,-
1
2
)
-
1
2
(-
1
2
,
1
2
)
1
2
(
1
2
,1)
g′(t)
+
0
-
0
+
g(t)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
举一反三
函数y=xlnx的单调递减区间是( )
A.(e
-4
,+∞)
B.(-∞,e
-1
)
C.(0,e
-1
)
D.(e,+∞)
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
lnx
x
.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若关于x的不等式lnx<mx对一切x∈[a,2a](其中a>0)都成立,求实数m的取值范围;
(3)某同学发现:总存在正实数a、b(a<b),使a
b
=b
a
.试问:他的判断是否正确?若不正确,请说明理由;若正确,请写出a的取值范围(不需要解答过程).
题型:不详
难度:
|
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如图所示的曲线是函数f(x)=x
3
+bx
2
+cx+d的大致图象,则x
1
2
+x
2
2
等于( )
A.
8
9
B.
10
9
x
2
C.
16
9
D.
5
4
题型:不详
难度:
|
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数列a
n
中,a
1
=t,a
2
=t
2
,其中
t≠0且t≠1,x=
t
是函数f(x)=a
n-1
x
3
-3[(t+1)a
n
-a
n+1
]x+1(n≥2)的一个极值点.
(1)证明:数列a
n+1
-a
n
是等比数列;
(2)求a
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=mx
3
-3(m+1)x
2
+(3m+6)x+1其中m<0
(1)若f(x)的单调增区间是(0,1),求m的值;
(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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