数列an中,a1=t,a2=t2,其中t≠0且t≠1,x=t是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点.(1)证明

数列an中,a1=t,a2=t2,其中t≠0且t≠1,x=t是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点.(1)证明

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数列an中,a1=t,a2=t2,其中t≠0且t≠1,x=


t
是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点.
(1)证明:数列an+1-an是等比数列;
(2)求an
答案
(1)证明:∵f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1∴f"(x)=3an-1x2-3[(t+1)an-an+1],
根据已知f′(


t
)=0
,即tan-1-(t+1)an+an+1=0,即an+1-an=t(an-an-1),当t≠1时,数列an+1-an是等比数列.(6分)
(2)由于a2-a1=t2-t=t(t-1),所以an+1-an=(t-1)tn
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1=(t-1)tn-1+(t-1)tn-1++(t-1)t+t=(t-1)×
t(1-tn-1)
1-t
+t=tn

所以数列an的通项公式an=tn.(12分)
举一反三
已知函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+(3m+6)x+1其中m<0
(1)若f(x)的单调增区间是(0,1),求m的值;
(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
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设函数f(x)=x(lnx+a)-ax2,其中a∈R.
(1)若a=0,求f(x)的单调区间及极值;
(2)当x≥1时,f(x)≤0,求a的取值范围.
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已知半圆x2+y2=4(y<0)上任一点P(t,h),过点P做切线,切线的斜率为k,则函数k=f(t)的单调性为(  )
A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增
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已知函数f(x)=mx3-x在(-∞+∞)上是减函数,则m的取值范围是______.
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已知函数f (x)=2x3-3(2+a2)x2+6(1+a2)x+1(a∈R).
(Ⅰ)若函数f (x)在R上单调,求a的值;
(Ⅱ)若函数f (x)在区间[0,2]上的最大值是5,求a的取值范围.
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