已知函数f （x）=2x3-3（2+a2）x2+6（1+a2）x+1（a∈R）．（Ⅰ）若函数f （x）在R上单调，求a的值；（Ⅱ）若函数f （x）在区间[0，2
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已知函数f （x）=2x3-3（2+a2）x2+6（1+a2）x+1（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f （x）在R上单调，求a的值；
（Ⅱ）若函数f （x）在区间[0，2]上的最大值是5，求a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）f′（x）=6x2-6（2+a2）x+6（1+a2）
=6（x-1）（x-1-a2），
因为函数f（x）在R上单调，
所以1=1+a2，
即a=0．（6分）
（Ⅱ）因为1≤1+a2，
所以{f（x）}max={f（1），f（2）}max={3a2+3，5}max=5，
即3a2+3≤5，
解此不等式，得
-≤a≤，
所以a的取值范围是-≤a≤．（15分） |
举一反三
已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，求g(x)=在[，]上的最大值和最小值． |
设f （x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）| A．（-3，0）∪（3，+∞） | B．（-3，0）∪（0，3） | C．（-∞，-3）∪（3，+∞） | D．（-∞，-3）∪（0，3） |
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| 已知函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______． |
已知a＞0，函数f（x）=-x3+ax在[1，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（ ）| A．a≥1 | B．0＜a≤2 | C．0＜a≤3 | D．1≤a≤3 |
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已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-1)x（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．
试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由． |
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