设f (x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的
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设f (x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的
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设f (x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
答案
设F(x)=f (x)g(x),当x<0时,
∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.
∴F(x)在当x<0时为增函数.
∵F(-x)=f (-x)g (-x)=-f (x)•g (x).=-F(x).
故F(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
∴F(x)在(0,∞)上亦为增函数.
已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.
构造如图的F(x)的图象,可知
F(x)<0的解集为x∈(-∞,-3)∪(0,3).
故选D
举一反三
已知函数f(x)=x
3
+3ax
2
+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是______.
题型:不详
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已知a>0,函数f(x)=-x
3
+ax在[1,+∞)上是减函数,则a的取值范围是( )
A.a≥1
B.0<a≤2
C.0<a≤3
D.1≤a≤3
题型:不详
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已知函数
f(x)=lnx-
1
2
a
x
2
+(a-1)x
(a∈R且a≠0).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 记函数y=F(x)的图象为曲线C.设点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)是曲线C上的不同两点,如果在曲线C上存在点M(x
0
,y
0
),使得:①
x
0
=
x
1
+
x
2
2
;②曲线C在M处的切线平行于直线AB,则称函数F(x)存在“中值相依切线”.
试问:函数f(x)是否存在“中值相依切线”,请说明理由.
题型:不详
难度:
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已知函数f(x)=lnx+ax-a
2
x
2
(a∈R).
(I)若x=1是函数y=f(x)的极值点,求a的值;
(II)求函数f(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
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函数y=2x+sinx的单调递增区间是______.
题型:不详
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