已知f(x)=x+asinx.(Ⅰ)若f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a>0时,求g(x)=f(x)x在[π6,5π6]上的最大
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已知f(x)=x+asinx.(Ⅰ)若f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a>0时,求g(x)=f(x)x在[π6,5π6]上的最大
题型:不详
难度:
来源:
已知f(x)=x+asinx.
(Ⅰ)若f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)当a>0时,求
g(x)=
f(x)
x
在
[
π
6
,
5π
6
]
上的最大值和最小值.
答案
(Ⅰ)∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,
∴f"(x)=1+acosx≥0对x∈(-∞,+∞)恒成立.(2分)
令t=cosx,则1+at≥0对t∈[-1,1]恒成立,
∴
1+a•(-1)≥0
1+a•1≥0
,解得-1≤a≤1,
∴实数a的取值范围是[-1,1].(6分)
(Ⅱ)当a>0时,
g(x)=
f(x)
x
=1+
asinx
x
,∴
g′(x)=
a(xcosx-sinx)
x
2
,(8分)
记h(x)=xcosx-sinx,x∈(0,π),则h"(x)=-xsinx<0对x∈(0,π)恒成立,
∴h(x)在x∈(0,π)上是减函数,∴h(x)<h(0)=0,即g"(x)<0,
∴当a>0时,
g(x)=
f(x)
x
在(0,π)上是减函数,得g(x)在
[
π
6
,
5π
6
]
上为减函数.(11分)
∴当
x=
π
6
时,g(x)取得最大值
1+
3a
π
;当
x=
5π
6
时,g(x)取得最小值
1+
3a
5π
.(13分)
举一反三
设f (x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+3ax
2
+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知a>0,函数f(x)=-x
3
+ax在[1,+∞)上是减函数,则a的取值范围是( )
A.a≥1
B.0<a≤2
C.0<a≤3
D.1≤a≤3
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=lnx-
1
2
a
x
2
+(a-1)x
(a∈R且a≠0).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 记函数y=F(x)的图象为曲线C.设点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)是曲线C上的不同两点,如果在曲线C上存在点M(x
0
,y
0
),使得:①
x
0
=
x
1
+
x
2
2
;②曲线C在M处的切线平行于直线AB,则称函数F(x)存在“中值相依切线”.
试问:函数f(x)是否存在“中值相依切线”,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=lnx+ax-a
2
x
2
(a∈R).
(I)若x=1是函数y=f(x)的极值点,求a的值;
(II)求函数f(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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