设函数f(x)=x(lnx+a)-ax2,其中a∈R.(1)若a=0,求f(x)的单调区间及极值;(2)当x≥1时,f(x)≤0,求a的取值范围.
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=x(lnx+a)-ax2,其中a∈R. (1)若a=0,求f(x)的单调区间及极值; (2)当x≥1时,f(x)≤0,求a的取值范围. |
答案
(1)当a=0时,f(x)=xlnx ∴f"(x)=lnx+1,x∈(0,+∞) 又∵当x∈(0,)时,f"(x)<0, 当x∈(,+∞)时,f"(x)>0, ∴f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,在x=处取得极大值,且极大值为f()=- (2)当x≥1时,f(x)≤0⇔lnx+a-ax≤0. 令g(x)=lnx+a-ax,则g′(x)=-a. ①当a≥1时,g"(x)≤0,故g(x) 在[1,+∞)是减函数,所以g(x)≤g(1)=0. ②当0<a<1时,令g"(x)=0,得x=>1. ∵当x∈(1,)时,g"(x)>0, 故当x∈(1,)时,g(x)>g(1)=0,与题意不符. ③当a≤0时,g"(x)>0,故g(x)在[1,+∞)是增函数,从而当x∈(1,+∞)时, 有g(x)>g(1)=0,与题意不符.综上所述,a的取值范围为[1,+∞). |
举一反三
已知半圆x2+y2=4(y<0)上任一点P(t,h),过点P做切线,切线的斜率为k,则函数k=f(t)的单调性为( ) |
已知函数f(x)=mx3-x在(-∞+∞)上是减函数,则m的取值范围是______. |
已知函数f (x)=2x3-3(2+a2)x2+6(1+a2)x+1(a∈R). (Ⅰ)若函数f (x)在R上单调,求a的值; (Ⅱ)若函数f (x)在区间[0,2]上的最大值是5,求a的取值范围. |
已知f(x)=x+asinx. (Ⅰ)若f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围; (Ⅱ)当a>0时,求g(x)=在[,]上的最大值和最小值. |
设f (x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A.(-3,0)∪(3,+∞) | B.(-3,0)∪(0,3) | C.(-∞,-3)∪(3,+∞) | D.(-∞,-3)∪(0,3) |
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