已知函数f(x)=ln(1+x)x．（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）设h（x）=x•f（x）-x-ax3在（0，2）上有极值，求a的取

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已知函数f(x)=

ln(1+x)

．
（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）设h（x）=x•f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值，求a的取值范围．

答案

（1）由已知函数求导得f′(x)=

x+1

-ln(1+x)

设g(x)=

x+1

-ln(1+x)，则g′(x)=

(x+1)2

x+1

-x

(x+1)2

＜0
∴g（x）在（0，+∞）上递减，g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（2）由h（x）=xf（x）-x-ax³可得，h（x）=ln（1+x）-x-ax³
h′(x)=

x+1

-1-3ax2=

-x(3ax2+3ax+1)

x+1


若a≥0，任给x∈（0，+∞），

x+1

-1＜0，-3ax²＜0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，则f（x）在（0，2）无极值；
若a＜0，h（x）=x•f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值的充要条件是
φ（x）=3ax²+3ax+1在（0，2）上有零点，
∴φ（0）•φ（2）＜0，解得a＜-

综上所述，a的取值范围是（-∞，-

）．

举一反三

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=

lnx

，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+

；
（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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已知a＞0，函数f（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=

4x2-7

2-x

，是否存在实数a≥1，使得对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，满足f（x₁）=g（x₀）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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已知函数f（x）=x²ln|x|，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程f（x）=kx-1在（0，+∞）上有实数解，求实数k的取值范围．

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已知n∈R，函数，f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e为自然对数的底数）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围；
（3）函数f（x）是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．

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若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

A．[1，+∞）

B．[1，

）

C．[1，2）

D．[

，2）

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