已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

题型：东城区二模难度：来源：

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

答案

证明：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-2lnx，
当x∈（1，+∞）时，f′(x)=

2(x2-1)

x

＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．          （5分）
（Ⅱ）f′(x)=

2x2-a

x

(x＞0)，
当x∈[1，e]，2x²-a∈[2-a，2e²-a]．
若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，
所以f（x）在[1，e]上是增函数，
又f（1）=1，故函数f（x）在[1，e]上的最小值为1．
若a≥2e²，则当x∈[1，e]时，f′（x）≤0，
所以f（x）在[1，e]上是减函数，
又f（e）=e²-a，所以f（x）在[1，e]上的最小值为e²-a．
若2＜a＜2e²，则当1≤x＜

a 2

时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；
当

a 2

＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．
又f(

a 2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

，
所以f（x）在[1，e]上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

．
综上可知，当a≤2时，f（x）在[1，e]上的最小值为1；
当2＜a＜2e²时，f（x）在[1，e]上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

；
当a≥2e²时，f（x）在[1，e]上的最小值为e²-a．（13分）