已知函数f(x)=x3-x2+x2+14,且存在x0∈(0,12),使f(x0)=x0.(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;(2)设x1=0,xn+1=f(
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已知函数f(x)=x3-x2+x2+14,且存在x0∈(0,12),使f(x0)=x0.(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;(2)设x1=0,xn+1=f(
题型:陕西
难度:
来源:
已知函数f(x)=x
3
-x
2
+
x
2
+
1
4
,且存在x
0
∈(0,
1
2
),使f(x
0
)=x
0
.
(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;
(2)设x
1
=0,x
n+1
=f(x
n
);y
1
=
1
2
,y
n+1
=f(y
n
),其中n=1,2,…,证明:x
n
<x
n+1
<x
0
<y
n+1
<y
n
;
(3)证明:
y
n+1
-
x
n+1
y
n
-
x
n
<
1
2
.
答案
(1)∵f"(x)=3x
2
-2x+
1
2
=3(x-
1
3
)
2
+
1
6
>0,
∴f(x)是R上的单调增函数.
(2)∵0<x
0
<
1
2
,即x
1
<x
0
<y
1
.又f(x)是增函数,
∴f(x
1
)<f(x
0
)<f(y
1
).即x
2
<x
0
<y
2
.
又x
2
=f(x
1
)=f(0)=
1
4
>0=x
1
,y
2
=f(y
1
)=f(
1
2
)=
3
8
<
1
2
=y
1
,
综上,x
1
<x
2
<x
0
<y
2
<y
1
.
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,上面已证明成立.
②假设当n=k(k≥1)时有x
k
<x
k+1
<x
0
<y
k+1
<y
k
.
当n=k+1时,
由f(x)是单调增函数,有f(x
k
)<f(x
k+1
)<f(x
0
)<f(y
k+1
)<f(y
k
),
∴x
k+1
<x
k+2
<x
0
<y
k+2
<y
k+1
由①②知对一切n=1,2,都有x
n
<x
n+1
<x
0
<y
n+1
<y
n
.
(3)
y
n+1
-
x
n+1
y
n
-
x
n
=
f(
y
n
)-f(
x
n
)
y
n
-
x
n
=y
n
2
+x
n
y
n
+x
n
2
-(y
n
+x
n
)+
1
2
≤(y
n
+x
n
)
2
-(y
n
+x
n
)+
1
2
=[(y
n
+x
n
)-
1
2
]
2
+
1
4
.
由(Ⅱ)知0<y
n
+x
n
<1.
∴-
1
2
<y
n
+x
n
-
1
2
<
1
2
,
∴
y
n+1
-
x
n+1
y
n
-
x
n
<(
1
2
)
2
+
1
4
=
1
2
举一反三
函数f(x)=x
2
+bln(x+1),其中b∈R.
(1)若函数f(x)在其定义域内是单调函数,求b的取值范围;
(2)若对f(x)定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1),求b的值;
(3)设
a>1,g(x)=
x
3
-2
a
2
x+
a
2
-2a.当b=
1
2
时,若存在x
1
,x
2
∈[0,1],使得
|f(
x
1
)-g(
x
2
)|<
1
2
,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+mx
2
-m
2
x+1(m为常数,且m>0)有极大值9,求m的值及f(x)的极小值.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=x(e
x
-1)-ax
2
,a∈R,其中e为自然对数的底数.
(Ⅰ)若a=
1
2
,求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
2
,g(x)=2elnx,(e为自然对数的底数).
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,若F(x)有最值,请求其最值;
(2)是否存在正常数a,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线?若存在,求出a的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=(x
2
-3x+3)•e
x
,其定义域为[-2,t](t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n.
(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(2)试判断m,n的大小并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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