已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex,其定义域为[-2,t](t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n.(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-
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已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex,其定义域为[-2,t](t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n. (1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数; (2)试判断m,n的大小并说明理由. |
答案
(1)∵f(x)=(x2-3x+3)•ex, ∴f′(x)=(x2-x)ex(2分) 令f′(x)≥0,则x≥1或x≤0, ∴f(x)在(-∞,0],[1,+∞)上单调递增,在[0,1]上单调递减(5分) ∴-2<t≤0.(7分) ①若-2<t≤0,则f(x)在[-2,t]上单调递增, ∴f(t)>f(-2), 即n>m.(9分) ②若0<t≤1,则f(x)在[-2,0]上单调递增,在[0,t]上单调递减 又f(-2)=,f(1)=e, ∴f(t)≥f(1)>f(-2),即n>m.(11分) ③若t>1,则f(x)在(_∞,0],[1,t]上单调递增,在[0,1]上单调递减 ∴f(t)>f(1)>f(-2),即n>m.(13分) 综上,n>m.(15分) |
举一反三
f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)-f(x)>0,对任意的正数a、b,若a>b,则必有( )A.af(a)<bf(b) | B.bf(a)<af(b) | C.af(b)<bf(a) | D.bf(b)<af(a) |
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若函数f(x)对任意的实数x1,x2∈D,均有|f(x2-f(x1))|≤|x2-x1|,则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”.下列函数是实数集R上的“平缓函数”的是( )A.f(x)=cosx | B.f(x)=x2-x | C.f(x)=()x | D.f(x)=3x-2 |
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若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围( )A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3 | B.-3<k<-1或1<k<3 | C.-2<k<2 | D.不存在这样的实数k |
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已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a). (I)若f′(-1)=0,求f(x)在[-4,4]上的最大值和最小值; (II)若f(x)在(-∞,-2)和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=ax3-4x+4(a∈R)在x=2取得极值. (Ⅰ)确定a的值并求函数的单调区间; (Ⅱ)若关于x的方程f(x)=b至多有两个零点,求实数b的取值范围. |
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