已知函数f(x)=ax2,g(x)=2elnx,(e为自然对数的底数).(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,若F(x)有最值,请求其最值;(2)是否

已知函数f(x)=ax2,g(x)=2elnx,(e为自然对数的底数).(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,若F(x)有最值,请求其最值;(2)是否

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已知函数f(x)=ax2,g(x)=2elnx,(e为自然对数的底数).
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,若F(x)有最值,请求其最值;
(2)是否存在正常数a,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线?若存在,求出a的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1)求导数得
F"(x)=f"(x)-g"(x)=2ax-
2e
x
=
2ax2-2e
x
.(x>0)
①当a≤0时,F"(x)<0在(0,+∞)上恒成立
此时,F(x)在(0,+∞)上为减函数,没有最值;
②当a>0时,解方程F"(x)=0,得x=


e
a

在(0,


e
a
)上F(x)为减函数,在(


e
a
,+∞)上F(x)为增函数
因此F(x)在(0,+∞)上有最小值F(


e
a
)=e-2eln


e
a
=elna;没有最大值
综上所述,当a≤0时,F(x)没有最值;
当a>0时,F(x)有最小值F(


e
a
)=elna,没有最大值.
(2)假设存在正常数a,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,
则函数y=F(x)有且仅有一个零点
结合(1)的结论,可得只需F(x)的最小值等于0
因此有a>0,且elna=0,解得a=1
[F(x)]min=f(


e
)-g(


e
)=0,即f(


e
)=g(


e
)=e
∴f(x)与g(x)图象的公共点为(


e
,e)
又∵f"(


e
)=g"(


e
)=2


e

∴f(x)与g(x)的图象在(


e
,e)处有公共的切线
切线方程为y-e=2


e
(x-


e
),即y=2


e
x-e
综上所述,得存在正常数a=1,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,
且在该公共点处有共同的切线,公切线方程为y=2


e
x-e.
举一反三
已知函数f(x)=(x2-3x+3)•ex,其定义域为[-2,t](t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n.
(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(2)试判断m,n的大小并说明理由.
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f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)-f(x)>0,对任意的正数a、b,若a>b,则必有(  )
A.af(a)<bf(b)B.bf(a)<af(b)C.af(b)<bf(a)D.bf(b)<af(a)
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若函数f(x)对任意的实数x1,x2∈D,均有|f(x2-f(x1))|≤|x2-x1|,则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”.下列函数是实数集R上的“平缓函数”的是(  )
A.f(x)=cosxB.f(x)=x2-xC.f(x)=(
1
2
x
D.f(x)=3x-2
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若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围(  )
A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3B.-3<k<-1或1<k<3
C.-2<k<2D.不存在这样的实数k
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已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).
(I)若f′(-1)=0,求f(x)在[-4,4]上的最大值和最小值;
(II)若f(x)在(-∞,-2)和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围.
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