设函数f(x)=x(ex-1)-ax2,a∈R,其中e为自然对数的底数.(Ⅰ)若a=12,求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实
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设函数f(x)=x(ex-1)-ax2,a∈R,其中e为自然对数的底数.(Ⅰ)若a=12,求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实
题型:不详
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来源:
设函数f(x)=x(e
x
-1)-ax
2
,a∈R,其中e为自然对数的底数.
(Ⅰ)若a=
1
2
,求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)
a=
1
2
时,
f(x)=x(
e
x
-1)-
1
2
x
2
,
f′(x)=e
x
-1+xe
x
-x=(e
x
-1)((x+1).
令f"(x)>0,得x<-1或x>0,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞).
(2)f(x)=x(e
x
-1-ax)
令g(x)=e
x
-1-ax,则g′(x)=e
x
-a.
若a≤1,则当(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,
而g(x)=0,从而当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0.
若a>1,则当x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,
而g(x)=0,从而当x∈(0,lna)时,g(x)<0,即f(x)<0.
所以不合题意,舍去.
综合得a的取值范围为(-∞,1].
举一反三
已知函数f(x)=ax
2
,g(x)=2elnx,(e为自然对数的底数).
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,若F(x)有最值,请求其最值;
(2)是否存在正常数a,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线?若存在,求出a的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=(x
2
-3x+3)•e
x
,其定义域为[-2,t](t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n.
(1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(2)试判断m,n的大小并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)-f(x)>0,对任意的正数a、b,若a>b,则必有( )
A.af(a)<bf(b)
B.bf(a)<af(b)
C.af(b)<bf(a)
D.bf(b)<af(a)
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)对任意的实数x
1
,x
2
∈D,均有|f(x
2
-f(x
1
))|≤|x
2
-x
1
|,则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”.下列函数是实数集R上的“平缓函数”的是( )
A.f(x)=cosx
B.f(x)=x
2
-x
C.f(x)=(
1
2
)
x
D.f(x)=3x-2
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)=x
3
-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围( )
A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3
B.-3<k<-1或1<k<3
C.-2<k<2
D.不存在这样的实数k
题型:不详
难度:
|
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