(1)f/(x)=2x+=(x>-1), 由题意,f′(x)≥0在(-1,+∞)内恒成立,或f′(x)≤0在(-1,+∞)内恒成立. 若f′(x)≥0,则2x2+2x+b≥0,即b≥-2x2-2x=-2(x+)2+恒成立, 显然,-2(x+)2+在(-1,+∞)内的最大值为,所以b≥; f′(x)≤0,则2x2+2x+b≤0, 显然,该不等式在(-1,+∞)内不恒成立; 综上,所求b的取值范围为[,+∞); (2)由题意,f(1)是函数的最小值也是极小值. 因此f′(1)=2+=0,解得b=-4, 经验证b=-4符合题意; (3)首先研究f(x),g(x)在[0,1]上的性质, 由(1),当b=时,函数f(x)=x2+bln(x+1)在(-1,+∞)内单调递增,从从而f(x)在[0,1]上单调递增, 因此,f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=0,最大值为f(1)=1+ln2, g′(x)=3(x2-a2),由a>1,知当x∈[0,1]时,g′(x)=3(x2-a2)<0, 因此g(x)=x3-3a2x+a2-2a在[0,1]上单调递减. ∴g(x)max=g(0)=a2-2a,g(x)min=g(1)=1-2a2-2a, ∵a>1,∴g(x)min=g(1)=1-2a2-2a<0, ①若g(x)max=g(0)=a2-2a≥0,即a≥2时,两函数在[0,1]上有交点,此时a≥2显然满足条件; ②若g(x)max=g(0)=a2-2a<0,即1<a<2,f(x)的图象在上,g(x)的图象在下, 只需f(x)min-g(x)max<,即f(0)-g(0)<, 即-(a2-2a)<, 解得1+<a<2. 综上,所求实数a的取值范围(1+,+∞). |