若函数f(x)=x3+3ax在R上单增,则α的取值范围为(  )A.[0,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0]D.(-∞,0)

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若函数f(x)=x3+3ax在R上单增,则α的取值范围为(  )
A.[0,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0]D.(-∞,0)
答案
由函数f(x)=x3+3ax在R上单增,
则f′(x)=3x2+3a≥0在R上恒成立,
即a≥-x2在R上恒成立,
因为-x2≤0,所以a≥0.
故选A.
举一反三
已知函数f(x)=x3-x2+
x
2
+
1
4
,且存在x0∈(0,
1
2
),使f(x0)=x0
(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;
(2)设x1=0,xn+1=f(xn);y1=
1
2
,yn+1=f(yn),其中n=1,2,…,证明:xn<xn+1<x0<yn+1<yn
(3)证明:
yn+1-xn+1
yn-xn
1
2
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函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b∈R.
(1)若函数f(x)在其定义域内是单调函数,求b的取值范围;
(2)若对f(x)定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1),求b的值;
(3)设a>1,g(x)=x3-2a2x+a2-2a.当b=
1
2
时,若存在x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-g(x2)|<
1
2
,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=x3+mx2-m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9,求m的值及f(x)的极小值.
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设函数f(x)=x(ex-1)-ax2,a∈R,其中e为自然对数的底数.
(Ⅰ)若a=
1
2
,求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=ax2,g(x)=2elnx,(e为自然对数的底数).
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间,若F(x)有最值,请求其最值;
(2)是否存在正常数a,使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线?若存在,求出a的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由.
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