已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,e)处公共切线.(I)求a,b的值;(II)
题型:蚌埠二模难度:来源:
已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,e)处公共切线. (I)求a,b的值; (II)记h(x)=f(x)+g(x),判断函数h(x)的单调性. |
答案
(I)由已知可得f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b, 由题意可得,即, 解得a=b=3. (II)由(I)可得f(x)=3x2+1,g(x)=x3+3x, ∴h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2+3x+1, ∴h′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 因此h(x)在R上单调递增. |
举一反三
已知定义在区间(0,+∞)的非负函数f(x)的导数为f"(x),其满足xf"(x)+f(x)<0,则在0<a<b时,下列结论一定正确的是______. (1)af"(a)<bf"(b)(2)af(a)>bf(b)(3)bf(a)>af(b)(4)bf"(a)>af"(b) |
如图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是( )
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已知函数f(x)=(x2+1)e2x,若0°<2α<90°,90°<β<180°a=(sinα)cosβ,b=(cosα)sinβ,c=(cosα)cosβ,则f(a),f(b),f(c)的大小关系是( )A.f(a)<f(b)<f(c) | B.f(a)>f(b)>f(c) | C.f(a)>f(c)>f(b) | D.f(a)<f(c)<f(b) |
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若a=,b=,c=,则a,b,c将用”<”连接得______. |
若函数y=f(x)满足f′(x)>f(x),则当a>0时,f(a)与eaf(0)之间大小关系为( )A.f(a)<eaf(0) | B.f(a)>eaf(0) | C.f(a)=eaf(0) | D.与f(x)或a有关,不能确定 |
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