已知定义在区间(0,+∞)的非负函数f(x)的导数为f"(x),其满足xf"(x)+f(x)<0,则在0<a<b时,下列结论一定正确的是______.(1)af
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已知定义在区间(0,+∞)的非负函数f(x)的导数为f"(x),其满足xf"(x)+f(x)<0,则在0<a<b时,下列结论一定正确的是______. (1)af"(a)<bf"(b)(2)af(a)>bf(b)(3)bf(a)>af(b)(4)bf"(a)>af"(b) |
答案
设g(x)=xf(x)所以g′(x)=xf"(x)+f(x)<0,所以g(x)在在区间(0,+∞)是减函数.因为0<a<b所以af(a)>bf(b).故(2)正确. 因为f(x)是定义在区间(0,+∞)的非负函数,并且xf"(x)+f(x)<0所以f′(x)<0.所以f(x)是定义在区间(0,+∞)的减函数.因为0<a<b所以f(a)>f(b),所以bf(a)>af(b).故(3)正确. 对于(1)(4)我们只知道0<a<b且f"(a)<0,f"(b)<0而并不能判断f"(a)与f"(b)的大小,所以af"(a)与bf"(b)、bf"(a)与af"(b)的大小不能判断.故(1)(4)不正确. 故答案为(2)(3). |
举一反三
如图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是( )
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已知函数f(x)=(x2+1)e2x,若0°<2α<90°,90°<β<180°a=(sinα)cosβ,b=(cosα)sinβ,c=(cosα)cosβ,则f(a),f(b),f(c)的大小关系是( )A.f(a)<f(b)<f(c) | B.f(a)>f(b)>f(c) | C.f(a)>f(c)>f(b) | D.f(a)<f(c)<f(b) |
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若a=,b=,c=,则a,b,c将用”<”连接得______. |
若函数y=f(x)满足f′(x)>f(x),则当a>0时,f(a)与eaf(0)之间大小关系为( )A.f(a)<eaf(0) | B.f(a)>eaf(0) | C.f(a)=eaf(0) | D.与f(x)或a有关,不能确定 |
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函数y=xlnx在区间(0,1)上是( )A.单调增函数 | B.单调减函数 | C.在(0,)上是单调减函数,在(,1)上是单调增函数 | D.在(0,)上是单调增函数,在(,1)上是单调减函数 |
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