已知a是实数,函数f(x)=x2(x﹣a). (1)若f"(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)在区间[0,
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已知a是实数,函数f(x)=x2(x﹣a). (1)若f"(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值. |
答案
解:(1)f"(x)=3x2﹣2ax. 因为f"(1)=3﹣2a=3,所以a=0. 又当a=0时,f(1)=1,f"(1)=3, 则切点坐标(1,1),斜率为3 所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y﹣1=3(x﹣1) 化简得3x﹣y﹣2=0. (2)令f"(x)=0,解得. 当,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增, 从而fmax=f(2)=8﹣4a. 当时,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减, 从而fmax=f(0)=0. 当,即0<a<3,f(x)在上单调递减,在上单调递增, 从而, |
举一反三
已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数,则的解集为 |
[ ] |
A.{x|﹣1<x<1} B.{x|x<﹣1} C.{x|x<﹣1或x>1} D.{x|x>1} |
已知三次函数f(x)的最高次项系数为a,三个零点分别为﹣1,0,3. (1)若方程有两个相等的实根,求a的值; (2)若函数λ(x)=f(x)+2在区间内单调递减,求a的取值范围. |
在直角坐标系中,设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1,t)、Q(1﹣2t,2+t)、R(﹣2t,2),其中t∈(0,+∞). (1)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t); (2)确定函数S(t)的单调区间,并加以证明. |
已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x﹣1)+g(1﹣x)=x2﹣2x﹣1,且g(1)=﹣1.令. (1)求g(x)的表达式; (2)若x>0使f(x)≤0成立,求实数m的取值范围; (3)设1<m≤e,H(x)=f(x)﹣(m+1)x,证明:对x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)﹣H(x2)|<1. |
若函数f(x)的导函数为f′(x)=x2﹣4x+3,则函数f(x﹣1)的单调递减区间为( ) |
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