设函数在[1，+∞）上是增函数．（1）求正实数a的取值范围；（2）设b＞0，a＞1，求证：．

题型：广东省同步题难度：来源：

设函数在[1，+∞）上是增函数．
（1）求正实数a的取值范围；
（2）设b＞0，a＞1，求证：．

答案

解：（1）对x∈[1，+∞）恒成立，
∴对x∈[1，+∞）恒成立，又，
∴a≥1为所求；
（2）取，∵，
一方面，由（1）知在[1，+∞）上是增函数，
∴
∴即；
另一方面，设函数G（x）=x﹣lnx（x＞1），，
∴G（x）在（1，+∞）上是增函数且在x=x₀处连续，
又G（1）=1＞0，
∴当x＞1时，G（x）＞G（1）＞0，
∴x＞lnx即，
综上所述，．