解:(I)∵函数为定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,即b=0,
∴函数解析式为:.
∴对f(x)求导数,得.
∵当x>1时,<0成立,
∴函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
(II)由f(1+2x2)+f(﹣x2+2x﹣4)>0,得
f(1+2x2)>﹣f(﹣x2+2x﹣4).
∵f(x)是奇函数,
∴﹣f(﹣x2+2x﹣4)=f(x2﹣2x+4).
原不等式化为:f(1+2x2)>f(x2﹣2x+4).
又∵1+2x2≥1,x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3>1,且f(x)在[1,+∞)上为减函数,
∴1+2x2<x2﹣2x+4,即x2+2x﹣3<0,
解之得﹣3<x<1.
∴不等式f(1+2x2)+f(﹣x2+2x﹣4)>0的解集是{x|﹣3<x<1}
已知定义在R上的二次函数R(x)=ax2+bx+c满足2 R(﹣x)﹣2 R(x)=0,且R(x)的最小值为0,函数h(x)=lnx,又函数f(x)=h(x)﹣R(x).
(I)求f(x)的单调区间;
(II)当a≤时,若x0∈[1,3],求f(x0)的最小值;
(III)若二次函数R(x)图象过(4,2)点,对于给定的函数f(x)图象上的点A(x1,y1),当时,探求函数f(x)图象上是否存在点B(x2,y2)(x2>2),使A、B连线平行于x轴,并说明理由.(参考数据:e=2.71828…)
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