设函数.(1) 讨论函数f(x)的单调性;(2)若x≥0时,恒有f(x)≤ax3,试求实数a的取值范围;(3)令,试证明:.

设函数.(1) 讨论函数f(x)的单调性;(2)若x≥0时,恒有f(x)≤ax3,试求实数a的取值范围;(3)令,试证明:.

题型:四川省月考题难度:来源:
设函数
(1) 讨论函数f(x)的单调性;
(2)若x≥0时,恒有f(x)≤ax3,试求实数a的取值范围;
(3)令,试证明:
答案
解:(I)函数的定义域为R, 由于f"(x)=1﹣≥0,知
f(x)是R上的增函数.
(II)令g(x)=g(x)﹣ax3=x﹣ln(x+)﹣ax3.则
g"(x)=
令h(x)=,则
h"(x)=
(1)当a≥时,h"(x)≤0,从而h(x)是[0,+∞)上的减函数,
因h(0)=0,则x≥0时,h(x)≤0,也即g"(x)≤0,
进而g(x)是[0,+∞)上的减函数,
注意g(0)=0,则x≥0时,g(x)≤0,也即f(x)≤ax3
(2)当0<a<时,在[0,],h"(x)>0,
从而x∈[0,]时,也即f(x)>ax3
(3)当a≤0时,h"(x)>0,同理可知:f(x)>ax3
综合,实数a的取值范围[,+∞).
(III)在(II)中取a=,则
x∈[0,],时,x﹣ln(x+)>x3,即 x3+ln(x+)<x,
令x=(2n,则
<(2n
举一反三
已知函数
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对于x∈(0,+∞)都有f(x)>2(a﹣1)成立,试求a的取值范围;
(3)记g(x)=f(x)+x﹣b(b∈R).当a=1时,函数g(x)在区间[e﹣1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围.
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若f(x)=x2﹣2x﹣4lnx,则f(x)的单调递增区间为 [     ]
A.(﹣1,0)
B.(﹣1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(0,+∞)
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已知函数f′(x)、g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数,它们在同一坐标系下的图象如图所示,设函数h(x)=f(x)﹣g(x),则h(﹣1),h(0),h(1)的大小关系为(    )。
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f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf"(x)≤f(x),对任意的正数a、b,若a<b,则必有[     ]

A.af(a)≤bf(b)
B.af(a)≥bf(b)
C.af(b)≤bf(a)
D.af(b)≥bf(a)

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已知函数f(x)=
(1)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明;
(2)求f(x)的定义域、值域.
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