已知定义在R上的二次函数R(x)=ax2+bx+c满足2 R(﹣x)﹣2 R(x)=0,且R(x)的最小值为0,函数h(x)=lnx,又函数f(x)=h(x)﹣R(x).
(I)求f(x)的单调区间;
(II)当a≤时,若x0∈[1,3],求f(x0)的最小值;
(III)若二次函数R(x)图象过(4,2)点,对于给定的函数f(x)图象上的点A(x1,y1),当时,探求函数f(x)图象上是否存在点B(x2,y2)(x2>2),使A、B连线平行于x轴,并说明理由.(参考数据:e=2.71828…)
解:(I)∵定义在R上的二次函数R(x)=ax2+bx+c满足2 R(﹣x)﹣2 R(x)=0,
∴2 R(﹣x)﹣2 R(x)=0,
∴2 R(﹣x)=2R(x),即R(﹣x)=R(x),
∵R(x)=ax2+bx+c,
∴b=0,
∴R(x)=ax2+c.
∵R(x)=ax2+c的最小值为0,
∴a>0,c=0,故R(x)=ax2,
∵R(x)=ax2,h(x)=lnx,f(x)=h(x)﹣R(x),
∴f(x)=lnx﹣ax2,,
令f"(x)=0,解得.
当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
f(x)的单调递减区间是(,+∞).
(II)∵当0<a≤时,
≥1,
∴x0∈[1,3]时,f(x0)的最小值为f(1)与f(3)中的较小者.
又f(1)=﹣a,f(3)=1n3﹣9a,f(1)﹣f(3)=﹣a﹣(ln3﹣9a)=8a﹣1n3.
∴当0<a≤时,f(1)≤f(3),f(x0)的最小值﹣a;
当时,f(1)>f(3),f(x0)的最小值ln3﹣9a.
(III)证明:若二次函数R(x)=ax2图象过(4,2)点,则,
所以.
令.
由(I)知f(x)在(0,2)内单调递增,
故,即g(2)>0.
取,则
.
所以存在,使g(x2)=0,
故存在x2∈(2,+∞),使.
所以函数f(x)图象上存在点B(x2,y2)(x2>2),使A、B连线平行于x轴.
A.af(a)≤bf(b)
B.af(a)≥bf(b)
C.af(b)≤bf(a)
D.af(b)≥bf(a)
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