已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x+a.(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若f(x)在区间[一2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
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已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x+a. (Ⅰ)求f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若f(x)在区间[一2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. |
答案
解:(I)f′(x)=﹣3x2+6x+9. 令f′(x)<0,解得x<﹣1或x>3, 所以函数f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1),(3,+∞). (II)因为f(﹣2)=8+12﹣18+a=2+a,f(2)=﹣8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(﹣2). 因为在(﹣1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[﹣1,2]上单调递增, 又由于f(x)在[﹣2,﹣1]上单调递减, 因此f(2)和f(﹣1)分别是f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值, 于是有22+a=20,解得a=﹣2. 故f(x)=﹣x3+3x2+9x﹣2, 因此f(﹣1)=1+3﹣9﹣2=﹣7,即函数f(x)在区间[﹣2,2]上的最小值为﹣7. |
举一反三
已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R). (Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数在区间(t,3)上总存在极值? (Ⅲ)当a=2时,设函数,若在区间[1,e]上至少存在一个x0,使得h(x0)>f(x0)成立,试求实数p的取值范围. |
已知f(x)=x2﹣alnx在(1,2]上是增函数,在(0,1)上是减函数. (1)求a的值; (2)设函数在(0,1]上是增函数,且对于(0,1]内的任意两个变量s,t,恒有f(s)≥φ(t)成立,求实数b的取值范围; (3)设,求证:[h(x)]n+2≥h(xn)+2n(n∈N*). |
设f"(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f"(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 |
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A. B. C. D. |
已知函数f(x)=. (Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围; (Ⅱ)当a=1时,求函数f(x)在上的最大值和最小值; (Ⅲ)当a=1时,对任意的正整数n>1,求证:,且不等式都成立. |
设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f"(x)可能 |
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A. B. C. D. |
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