(I)解:由题设可得 ∵函数f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴当x∈[1,+∞)时,不等式即恒成立. ∵当x∈[1,+∞)时,的最大值为1, ∴实数a的取值范围是[1,+∞); (Ⅱ)解:当a=1时, ∴当时,f"(x)<0,于是f(x)在上单调递减; 当x∈(1,2]时,f"(x)>0,于是f(x)在(1,2]上单调递增. 又 综上所述,当x=1时,函数f(x)在上的最小值为f(1)=0, 当时,函数f(x)在上的最大值为 (Ⅲ)证明:当a=1时,由(Ⅰ)知在[1,+∞)上是增函数 ∴对于任意的正整数n>1,有,则, ∴ ∴. 而,成立 |