已知a∈R，函数（其中e为自然对数的底）．（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点

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已知a∈R，函数

（其中e为自然对数的底）．（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在求出x₀的值，若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵

∴f"（x）=

，令f"（x）=0得，x=a，
①若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f"（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e）时，f"（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e）上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna．
②若a≥e，则f"（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以当x=e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值

．
综上所述，当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna，
当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值

．
（2）不存在．证明如下

，x∈（0，e]，
∴g"（x）=

e^x+（lnx﹣1）e^x+1=（

+lnx﹣1）e^x+1
由（1）知，当a=1时，

，
此时f（x）在区间（0，e]上取得最小值ln1=0，即

，而e^x＞0，
所以g"（x）≥1＞0，又曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直，等价于g"（x₀）=0有实数根，而g"（x）＞0，
所以方程g"（x₀）=0无实数根，x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．

举一反三

已知函数f（x）=﹣e^x+kx+1，x∈R．
（1）若k=2e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＜1恒成立，试确定实数k的取值范围．

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（1）讨论函数

（x∈[e^﹣1，e]）的图象与直线y=k的交点个数．
（2）求证：对任意的n∈N*，不等式

总成立．

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已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²﹣x（m≠﹣1）．
（I）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标；
（II）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M、N，求实数m的取值范围；
（III）在（II）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与f（x）的图象和g（x）的图象交于S、T点，以S点为切点作f（x）的切线l₁，以T为切点作g（x）的切线l₂，是否存在实数m，使得l₁

l₂？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

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（1）求证：对任意的正实数x，不等式

都成立．
（2）求证：对任意的n∈N*，不等式

总成立．

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设a为实数，函数f（x）=e^x﹣2x+2a，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间及极值；
（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e^x＞x²﹣2ax+1．

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