解:(Ⅰ)显然函数f(x)的定义域是(0,+∞), 由已知得, , (1)当 时, 令 ,解得 ; 令 ,解得 , 所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; (2)当 时, ①当 时,即 时, 令 ,解得 或 ; 令 ,解得 , 所以,函数f(x)在 和 上单调递增,在 上单调递减; ②当 时,即a=-1时, 显然,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; ③当 时,即 时, 令 ,解得 或 ; 令 ,解得 , 所以,函数f(x)在(0,1)和 上单调递增,在 上单调递减; 综上所述,(1)当 时,函数f(x)在(0,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减; (2)当 时,函数f(x)在 和(1,+∞)上单调递增,在 上单调递减; (3)当 时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; (4)当 时,函数f(x)在(0,1)和 上单调递增, 在 上单调递减; (Ⅱ)假设函数f(x)存在“中值相依切线”, 设 , 是曲线y=f(x)上的不同两点,且 , 则 , ,
, 曲线在点 处的切线斜率![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019004150-15063.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019004150-49830.png) , 依题意得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019004151-64336.png) , 化简可得: ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019004151-63518.png) , 即 =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019004152-93271.png) , 设 (t>1),上式化为: , 即 , 令 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019004153-72782.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019004154-70835.png) , 因为 ,显然g′(t)>0,所以g(t)在(1,+∞)上递增, 显然有g(t)>2恒成立; 所以在(1,+∞)内不存在t,使得 成立; 综上所述,假设不成立,所以,函数f(x)不存在“中值相依切线”。 |