已知函数的图象经过其中e为自然对数的底数，e≈2.71，（Ⅰ）求实数a；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）证明：对于任意的n∈N*，都有成立。

题型：贵州省模拟题难度：来源：

已知函数的图象经过其中e为自然对数的底数，e≈2.71，
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对于任意的n∈N*，都有成立。

答案

解：（Ⅰ）由y=f（x）的图象过点，
得。  
（Ⅱ），
由x＞1知，
令，
故g（x）在（1，+∞）上为增函数，
当x＞1时，，
令得x=e，
令得，x＞e；令得，
故f（x）的增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在区间（1，+∞）上的最小值为，
即当x＞1时，恒成立，
当n∈N*时，令，
则有，
即，
故成立。