已知函数f（x）=。（1）判断函数f（x）的单调性；（2）若y=xf（x）+的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围。

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已知函数f（x）=。
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）若y=xf（x）+的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围。

答案

解：（1），
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当e＜x时，f′（x）＜ 0，f（x）为减函数；
（2）依据意，转化为不等式对于x＞0恒成立，
令，则g′（x）=，
当x∈（1，+∞）时，
因为g′（x）=，
g（x）是（1，+∞）上的增函数；
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
g（x）是（0，1）上的减函数，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
从而a的取值范围是（-∞，1）。