已知函数f(x)= xe-x(x∈R)。 (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证
题型:同步题难度:来源:
已知函数f(x)= xe-x(x∈R)。 (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明当x>1时,f(x)>g(x); (3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2。 |
答案
解:(1)f′(x)=(1-x)e-x 令f′(x)=0,解得x=1 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
所以f(x)在(-∞,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且。 (2)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex-2 令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x -2)ex-2 于是F′(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x, 当x>1时,2x-2>0,从而e2x-2-1 >0 又e-x>0, 所以F′(x)>0 从而函数F(x)在[1,+∞)上是增函数 又F(1)=e-1-e-1=0, 所以x>1时,有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x)。 (3)①若(x1-1)(x2-1)=0,由(1)及f(x1)= f(x2),得x1=x2=1,与x1≠x2矛盾 ②若(x1-1)(x2-1)>0,由(1)及f(x1)=f(x2),得x1=x2,与x1≠x2矛盾 根据①②得(x1-1)(x2-1)<0 不妨设x1<1,x2>1 由(2)可知,f(x2)>g(x2),g(x2)=f(2-x2), 所以f(x2)>f(2 -x2), 从而f(x1)>f(2-x2) 因为x2>1, 所以2-x2<1 又由(1)可知函数f(x)在区间(-∞,1)内是增函数, 所以x1>2-x2,即x1+x2>2。 |
举一反三
已知函数f(x)=3x3-9x+5。 (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)求函数f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值。 |
已知函数f(x)=(x∈R),a为正数。 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若对任意x1,x2∈[0,4]均有|f(x1)-f(x2)|<1成立,求实数a的取值范围。 |
已知函数f(x)=ex(ax2+x+1)。 (Ⅰ)设a>0,讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设a=-1,证明:对,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<2。 |
设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为( )。 |
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