已知函数f（x）=（x∈R），a为正数。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x1，x2∈[0，4]均有|f（x1）-f（x2）|<1成立，求实数

题型：期末题难度：来源：

已知函数f（x）=（x∈R），a为正数。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈[0，4]均有|f（x₁）-f（x₂）|<1成立，求实数a的取值范围。

答案

解：（1）∵f（x）= ）
∴f′（x）=，
令f′（x）=0，
∵a>0，
∴x₁=0，x₂=3，
f′（x）>0，得0＜x＜3；
f′（x）＜0，得x＜0或x>3，
f（x）在（-∞，0]上为减函数，在[0，3]上为增函数，在[3，+∞）上为减函数；
（2）由（1）知，f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，
∴函数f（x）在[0，4]上有极大值f（3）=也是最大值，
又∵f（0）=-a＜0，f（4）=11ae^-4>0，
∴f（0）＜f（4），
∴f（x）在[0，4]上的最小值为-a，
∴要使得函数f（x）对任意x₁，x₂∈[0，4]均有|f（x₁）- f（x₂）|＜1成立只需|f（3）-f（0）|＜1即可，
∴
∵a>0，
∴0＜a＜。