已知函数f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e为自然常数, (Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)是否存在实数a,使得f(x)的最小值是3
题型:北京期末题难度:来源:
已知函数f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e为自然常数, (Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)是否存在实数a,使得f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由。 |
答案
解:(Ⅰ)a=1,f(x)=x-lnx,x∈(0,e],, 令f′(x)=0, 即:,解得x=1; 令f′(x)>0, 即:,解得1<x≤e; 令f′(x)<0, 即:,解得0<x<1; ∴f(x)的单调增区间为(1,e],单调减区间为(0,1), f(x)在x=1处取得极小值为f(1)=1; (Ⅱ), (1)若, ∵x∈(0,e], ∴f′(x)<0, ∴f(x)在(0,e]上是减函数, 此时(舍); (2)若a>0,令f′(x)=0,即:; 令f′(x)>0,即:; 令f′(x)<0,即:; ①若,此时f(x)在(0,e]上是减函数, (舍); ②若,此时f(x)在(0,e]上左减右增, ; 综上可知:存在,使得f(x)的最小值是3。 |
举一反三
已知函数f(x)=x3+ax在(-∞,-1)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,则f(1)的值为( )。 |
函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为 |
[ ] |
A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(-∞,0) D.(0,2) |
已知函数,x∈[0,1], (1)求f(x)的单调区间和值域; (2)设a≥1,函数g(x)=x3-3ax-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围。 |
函数f(x)=x-ln(1+x)的单调增区间为( )。 |
函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则f(1)+f(-1)的值一定( )(填“等于0”,“大于0”,“小于0”) |
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