已知函数，（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x+c对一切x∈R恒成立，求c的取值范围。

题型：北京期末题难度：来源：

已知函数，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤x+c对一切x∈R恒成立，求c的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）由于，
当x＜1时，，
令f′（x）＜0，可得；
当x＞1时，，可知f′（x）＞0，
所以函数f（x）的单调减区间为；
（Ⅱ）设，
当x＜1时，，
令g′（x）＞0，可得；
令g′（x）＜0，可得，
可得为函数g（x）的单调增区间，为函数g（x）的单调减区间；
当x＞1时，，
所以当x＞1时，g′（x）＜0，可得（1，+∞）为函数g（x）的单调减区间，
所以函数g（x）的单调增区间为，单调减区间为，
函数g（x）的最大值为，
要使不等式f（x）≤x+c对一切x∈R恒成立，
即g（x）≤c对一切x∈R恒成立，
又，
可得c的取值范围为。