已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值。

已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值。

题型:北京高考真题难度:来源:
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,
(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值。
答案
解:(Ⅰ)
,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为
(Ⅱ)因为
所以f(2)>f(-2),
因为(-1,3)上,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,
又由于f(x)在 [-2,-1]上单调递减,
因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
于是有22+a=20,解得a=-2,

因此f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上最小值为-7。
举一反三
已知f(x)=4x+ax2-x3(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数,
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=2x+x3的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。
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如图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于O,A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B,D,
(Ⅰ)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);
(Ⅱ)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值。
题型:湖南省高考真题难度:| 查看答案
已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围。
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若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围。
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已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值-2,
(1)求f(x)的单调区间和极大值;
(2)证明对任意x1,x2∈(-1,1),不等式| f(x1)-f(x2)|<4恒成立。
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