解:(Ⅰ)f'(x)=4+2ax-2x2, ∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴f'(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立, ① 设ψ(x)=x2-ax-2, ① , ∵对x∈[-1,1],只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0, ∴A={a|-1≤a≤1}; (Ⅱ)由 ,得x=0或 , ∵△=a2+8>0, ∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2, 从而|x1-x2|= = , ∵-1≤a≤1, ∴|x1-x2|= ≤3, 要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立, 即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立, ② 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), ② g(-1)=m2-m-2≥0且g(1)=m2+m-2≥0, m≥2或m≤-2, 所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立, 其取值范围是{m|m≥2或m≤-2}。 |