已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值-2,(1)求f(x)的单调区间和极大值; (2)证明对任意x1,x2∈(
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已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值-2,(1)求f(x)的单调区间和极大值; (2)证明对任意x1,x2∈(
题型:天津高考真题
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已知函数f(x)=ax
3
+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值-2,
(1)求f(x)的单调区间和极大值;
(2)证明对任意x
1
,x
2
∈(-1,1),不等式| f(x
1
)-f(x
2
)|<4恒成立。
答案
解:(1)由奇函数的定义,应有
,x∈R,
即
,
∴d=0,
因此,
,
由条件f(1)=-2为f(x)的极值,必有f′(1)=0,
故
,解得a=1,c=-3,
因此,
,
,
当
时,f′(x)>0,故f(x)在单调区间
上是增函数;
当
时,f′(x)<0,故f(x)在单调区间(-1,1)上是减函数;
当
时,f′(x)>0,故f(x)在单调区间
上是增函数;
所以,f(x)在x=-1处取得极大值,极大值为f(-1)=2。
(2)由(1)知,
是减函数,
且 f(x)在[-1,1]上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在[-1,1]上的最小值m=f(1)=-2,
所以,对任意的
,
恒有
。
举一反三
已知a为实数,f(x)=(x
2
-4)(x-a),
(Ⅰ)求导数f′(x);
(Ⅱ)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;
(Ⅲ)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求a的取值范围。
题型:浙江省高考真题
难度:
|
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若0<x<
,则2x与3sinx的大小关系
[ ]
A.2x>3sinx
B.2x<3sinx
C.2x=3sinx
D.与x的取值有关
题型:湖北省高考真题
难度:
|
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已知向量
=(x
2
,x+1),
=(1-x,t),若函数f(x)=
在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围。
题型:湖北省高考真题
难度:
|
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已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中y=f(x)的图象大致是
[ ]
A、
B、
C、
D、
题型:江西省高考真题
难度:
|
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设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x
3
+ax与g(x)=bx
2
+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线。
(1)用t表示a,b,c;
(2)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围。
题型:湖南省高考真题
难度:
|
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