解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞), , (1)若-1<a<0,则当0<x<-a时,f′(x)>0;当-a<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0, 故f(x)分别在(0,-a),(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减; (2)若a<-1,仿(1)可得f(x)分别在(0,1),(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减; (Ⅱ)存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数; 事实上,设(x∈R), 则, 再设(x∈R), 则当g(x)在[a,-a]上单调递减时,h(x)必在[a,0]上单调递减,所以h′(a)≤0. 由于ex>0,因此m(a)≤0,而m(a)=a2(a+2),所以a≤-2. 此时,显然有g(x)在[a,-a]上为减函数,当且仅当f(x)在[1,-a]上为减函数,h(x)在[a,1]上为减函数,且h(1)≥e·f(1), 由(Ⅰ)知,当a≤-2时,f(x)在[1,-a]上为减函数,① 又h(1)≥e·f(1)4a2+13a+3≤0-3≤a≤,② 不难知道,,h′(x)≤0,m(x)≤0. 因m′(x)=-6x2+6(a-2)x+12a=-6(x+2)(x-a), 令m′(x)=0,则x=a,或x= -2, 而a≤-2,于是 (1)当a<-2时,若a<x<-2,则m′(x)>0;若-2<x<1,则m′(x)<0, 因而m(x)在(a,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减; (2)当a=-2时,m′(x)≤0,m(x)在(-2,1)上单调递减; 综合(1),(2)知,当a≤-2时,m(x)在[a,1]上的最大值为m(-2)=-4a2-12a-8. 所以,③ 又对x∈[a,1],m(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得,亦即h′(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得. 因此,当a≤-2时,h(x)在[a,1]上为减函数, 从而由①,②,③知,-3≤a≤-2; 综上所述,存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数,且a的取值范围为[-3,-2]. |