已知函数f（x）=ax3-3x2+1-。（1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若曲线y=f（x）上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求

题型：湖南省高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-。
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若曲线y=f（x）上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。

答案

解：（1）由题设知
令得
当a>0时
若，则
所以f（x）在区间上是增函数；
若，则
所以f（x）在区间上是减函数；
若，则
所以f（x）在区间上是增函数；
当a＜0时，
若，则
所以f（x）在区间上是减函数；
若，则
所以f（x）在区间上是减函数；
若，则
所以f（x）在区间上是增函数；
若，则
所以f（x）在区间上是减函数。
（2）由（1）的讨论及题设知，曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，
且函数在处分别是取得极值
，
因为线段AB与x轴有公共点，
所以
即
所以
故
解得：-1≤a＜0或3≤a≤4
即所求实数a的取值范围是[-1，0）∪[3，4]。